Lineare Algebra Beispiele

$5 x + 3 y = - 7$ , $7 x - 3 y = 55$

Schritt 1

Löse in $5 x + 3 y = - 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 7 - 3 y$

$7 x - 3 y = 55$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 7 - 3 y$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 7 - 3 y$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 7}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 7}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

$x = \frac{- 7}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

$x = \frac{- 7}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$7 x - 3 y = 55$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $7 x - 3 y = 55$ durch $- \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$ .

$7 (- \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}) - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $7 (- \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}) - 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (- \frac{7}{5}) + 7 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $7 (- \frac{7}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 (\frac{7}{5}) + 7 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{5}$ .

$\frac{- 7 \cdot 7}{5} + 7 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$\frac{- 49}{5} + 7 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 49}{5} + 7 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $7 (- \frac{3 y}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{- 49}{5} - 7 \frac{3 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3 y}{5}$ .

$\frac{- 49}{5} + \frac{- 7 (3 y)}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$\frac{- 49}{5} + \frac{- 21 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 49}{5} + \frac{- 21 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{49}{5} + \frac{- 21 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{49}{5} - \frac{21 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- \frac{49}{5} - \frac{21 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- \frac{49}{5} - \frac{21 y}{5} - 3 y = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{49}{5} - \frac{21 y}{5} - 3 y \cdot \frac{5}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- 3 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{49}{5} - \frac{21 y}{5} + \frac{- 3 y \cdot 5}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{49}{5} + \frac{- 21 y - 3 y \cdot 5}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 49 - 21 y - 3 y \cdot 5}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{- 49 - 21 y - 15 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $15 y$ von $- 21 y$ .

$\frac{- 49 - 36 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.8

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$\frac{- 1 \cdot 49 - 36 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 36 y$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot 49 - (36 y)}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (49) - (36 y)$ heraus.

$\frac{- 1 (49 + 36 y)}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{49 + 36 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- \frac{49 + 36 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- \frac{49 + 36 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- \frac{49 + 36 y}{5} = 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3

Löse in $- \frac{49 + 36 y}{5} = 55$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 5$ .

$- 5 (- \frac{49 + 36 y}{5}) = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 5 (- \frac{49 + 36 y}{5})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{49 + 36 y}{5}$ in den Zähler.

$- 5 \frac{- (49 + 36 y)}{5} = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$5 (- 1) (\frac{- (49 + 36 y)}{5}) = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot (- 1 \frac{- (49 + 36 y)}{5}) = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$49 + 36 y = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$49 + 36 y = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (49 + 36 y) = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $49 + 36 y$ mit $1$ .

$49 + 36 y = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$49 + 36 y = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$49 + 36 y = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$49 + 36 y = - 5 \cdot 55$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $55$ .

$49 + 36 y = - 275$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$49 + 36 y = - 275$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$49 + 36 y = - 275$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$36 y = - 275 - 49$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $49$ von $- 275$ .

$36 y = - 324$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$36 y = - 324$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $36 y = - 324$ durch $36$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $36 y = - 324$ durch $36$ .

$\frac{36 y}{36} = \frac{- 324}{36}$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 y}{36} = \frac{- 324}{36}$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 324}{36}$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- 324}{36}$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- 324}{36}$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $- 324$ durch $36$ .

$y = - 9$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 9$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 9$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 9$

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 9$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{7}{5} - \frac{3 y}{5}$ durch $- 9$ .

$x = - \frac{7}{5} - \frac{3 (- 9)}{5}$

$y = - 9$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{7}{5} - \frac{3 (- 9)}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 7 - 3 \cdot - 9}{5}$

$y = - 9$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 7 + 27}{5}$

$y = - 9$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 7$ und $27$ .

$x = \frac{20}{5}$

$y = - 9$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $20$ durch $5$ .

$x = 4$

$y = - 9$

$x = 4$

$y = - 9$

$x = 4$

$y = - 9$

$x = 4$

$y = - 9$

$x = 4$

$y = - 9$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, - 9)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, - 9)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = - 9$

Schritt 7